... Прежде всего, следует сказать о числах и счете. Разговор о них начинается тогда, когда возникает потребность установить в чувственном мире хотя бы какую-то определенность, т.е. начать не только ощущать вещи, но и размышлять о них.

Для этого же необходимо прежде всего отделить одно ощущаемое от другого, выделить их в нечто (хотя бы отчасти) самостоятельное. `Если каждый из них один, а вместе их два, то эти два будут в мышлении разделены` (`Государство`, VII, 524c)... и далее `Для выяснения этого мышление в свою очередь вынуждено рассмотреть большое и малое, но не в их слитности, а в их раздельности: тут полная противоположность зрению.` Но разделять и обособлять предметы значит их пересчитывать, т.е. указывать сначала на одно, потом на второе, потом на третье. Мы уже не говорим о чем-то, что оно `более легкое` или `менее теплое`. Мы выделяем его как нечто особенное в ряду пересчитываемых предметов. Ряд отдельных сущностей оказывается доступен мысли именно благодаря числу. Следовательно число есть начало (причина) самостоятельного существования чувственно воспринимаемой вещи. Ее можно мыслить прежде всего благодаря количеству.

Платон рассматривает обращение к числу как способ пробуждения мысли и ее обращения к подлинному бытию. Будучи причинами обособленного бытия вещей, числа поэтому интересны как сущие сами по себе, как самостоятельные сущности. По мысли Платона рассмотрение этих самостоятельных сущностей должно обратить ум к рассмотрению Блага. Послед...

... терием существования является свобода от противоречия. Все те формулы, в которые подставляются введенные для таких предметов значки, не должны противоречить друг другу. Более ясным этот критерий становится при обращении к аксиоматическому построению математики. Паункаре писал: `Если мы ... имеем систему постулатов, и если мы можем доказать, что эти постулаты не заключают в себе противоречия, то мы вправе рассматривать их как определения одного из тех понятий, которые фигурируют в этой системе предложений` ([48] с.373). Еще яснее такая интерпретация становится видимо, если прибегнуть к более поздней терминологии. Предмет существует, если он оказывается термом в непротиворечивой теории. Такой подход к проблеме существования сразу же ставит проблему непротиворечивости. Мы обсудим это подробнее, когда будем разбирать взгляды Гильберта.

Нашей ближайшей задачей будет углубление названных здесь интерпретаций существования. Каждая из них имеет достаточно солидную философско-математическую базу. Построение такой базы требует выявления ряда предпосылок, неявно присутствующих в любом математическом дискурсе.

Сознательное прописывание такого рода предпосылок (т.е. работа, которую можно назвать уже чисто философской) не раз предпринималось ведущими математиками. К анализу взглядов некоторых из них мы сейчас обратимся.

  2 Концепция существования у Кантора

В работах Георга Кантора есть ряд пассажей, в которых он довольно точно объясняет, что следует считать сущ...

... +an zn , тогда

a0+a1 z+....+an zn = an (z-z1)...(z-zn),

где z1,..zn - комплексные числа.

Очевидно, что все использованные в приведенной записи буквы суть имена чисел, которые могут быть подставлены вместо них в выражение. Но из этих имен создана совершенно самостоятельная конструкция, единичный объект, построенный по определенным правилам сообразно своему понятию. Как и в геометрии произведен переход от общего утверждения к единичному предмету.

Все последующие действия будут состоять в построении новых объектов более сложной конфигурации, состоящих из символов, т.е., в конечном счете из имен. Однако тот факт, что каждый символ, входящий в конструкцию, может в принципе указывать на какое-то число, не особенно важен для алгебры.

Дальнейшее развертывание теоремы обнаруживает еще одно знаменательное отличие от геометрии. В ней, на первый взгляд, нет дополнительного построения. После экспозиции и детерминации сразу же следует доказательство, которое, как и в геометрии, есть процедура, оперирующая с именами объектов. Но что представляет собой эта процедура в данном случае?

Это - последовательность алгебраических выкладок, совершаемых по определенным правилам. Иными словами - это конструирование знаковых объектов, связанных в производимой последовательности формул согласно законам алгебры. В конечном счете, все доказательство оказывается созданной по правилам единой конструкцией, в которую утверждение теоремы (точнее, детерминация) включено в качестве с...